Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Mówiąc nieformalnie, funkcja jest ciągła, jeśli jej wykres można narysować bez odrywania ołówka od papieru: bez żadnych dziur, skoków ani nagłych ucieczek do nieskończoności. Ścisła definicja opiera się na pojęciu granicy, które właśnie poznałeś: w każdym punkcie to, dokąd funkcja zmierza, musi idealnie pokrywać się z tym, gdzie faktycznie się znajduje.
Trzy warunki muszą być spełnione: f(a) istnieje, granica istnieje i obie te wielkości są sobie równe. Jeśli którykolwiek z tych warunków zawiedzie, masz do czynienia z nieciągłością. Wyróżniamy dokładnie trzy jej rodzaje.
Nieciągłość usuwalna to pojedynczy brakujący punkt (dziura) na wykresie: granica w tym punkcie wprawdzie istnieje, ale funkcja w ogóle tej wartości nie przyjmuje lub przyjmuje inną (jak dziura we wzorze (x²−4)/(x−2)). Nieciągłość skokowa (typu skok) występuje, gdy granice lewo- i prawostronna są różne, przez co wykres wykonuje skok z jednego poziomu na drugi. Wreszcie nieciągłość nieskończona objawia się asymptotą pionową, przy której funkcja „ucieka” do ±∞ (tak jak 1/x w punkcie 0).