Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Pochodna odpowiada w zasadzie na jedno jedyne pytanie: jak szybko zmienia się dana funkcja w jednym, konkretnym momencie? Od strony geometrycznej jest to nachylenie krzywej w dokładnie jednym punkcie, równe nachyleniu stycznej, która dotyka w tym miejscu krzywej.
Pomyśl o prędkościomierzu w poruszającym się samochodzie. Twoja średnia prędkość w ciągu godziny to całkowity dystans podzielony przez całkowity czas, ale wskazówka pokazuje coś ostrzejszego: dokładnie jak szybko jedziesz w tej właśnie chwili. Pochodna to ta wskazówka, tempo zmian zamrożone w jednym momencie zamiast rozmazanego na przedziale.
Ale uwaga, pojawia się problem. Obliczenie nachylenia wymaga dwóch punktów — musimy przecież podzielić zmianę wartości przez zmianę argumentu. Pojedynczy punkt nie daje nam więc żadnego wymiernego punktu odniesienia. Jak zatem jeden punkt może w ogóle mieć jakieś nachylenie? Sztuczka polega na odpowiednim zbliżaniu się.