Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, jeśli wyznacza w nim jedno, bardzo konkretne nachylenie: ma jedną styczną, bez krztyny niepewności. Zdecydowana większość gładkich krzywych jest wszędzie różniczkowalna. Istnieją jednak funkcje, które — mimo absolutnej ciągłości — posiadają miejsca wymykające się określeniu poprawnego nachylenia. Zrozumienie, w których punktach pochodne w ogóle nie istnieją, jest równie ważne co umiejętność ich obliczania.
Jeżeli funkcja posiada w danym punkcie pochodną, to nie może w tym samym miejscu nagle znikąd skakać — stąd powszechna zasada różniczkowalna ⇒ ciągła. Reguła odwrotna nie jest już jednak prawdziwa: funkcja może w pełni zachowywać ciągłość (narysujesz ją bez odrywania rąk od papieru), a mimo to w niektórych miejscach pozostawać nieróżniczkowalną. Różnica między tymi pojęciami to najbardziej fascynująca część analizy.
Sztandarowym przykładem jest tutaj wartość bezwzględna |x|. Jej wykres jest wszędzie ciągły, nie ma w nim dziury ani zerwania w 0. Jednakże w jej „ostrym rogu” nachylenie od lewej strony to równe −1, z kolei w drodze na prawą stronę wynosi +1. W szpiczastym miejscu wykresu spotykają się więc dwa kompletnie różne kąty nachylenia, przez co narysowanie jednej wspólnej stycznej jest zupełnie niemożliwe. Z tego powodu dla x = 0 pochodna po prostu nie istnieje.