Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Weźmy dowolny ciąg i zacznijmy dodawać do siebie jego kolejne wyrazy. Biorąc tylko pierwszy wyraz, otrzymujemy a₁. Sumując dwa, mamy a₁ + a₂. Trzy – a₁ + a₂ + a₃. Każdą taką bieżącą sumę nazywamy sumą częściową i oznaczamy przez Sₙ. Jest to suma pierwszych n wyrazów.
Sumy częściowe same w sobie tworzą nowy ciąg (S₁, S₂, S₃, …), więc możemy zadać to samo pytanie, co poprzednio: czy ten ciąg sum ma granicę? Jeśli tak, to tę granicę nazywamy sumą szeregu (lub nieskończoną sumą).
Wyobraź sobie słoik na napiwki, który stale napełniasz: każda suma bieżąca to suma częściowa, pieniądze w słoiku po ostatnim datku. Jeśli każdy datek jest o połowę mniejszy od poprzedniego — jak dodawanie 1/2 + 1/4 + 1/8 + … dolara — słoik wypełnia się początkowo szybko, a potem ledwo rośnie, trzymając się sufitu. Ten sufit, którego nigdy do końca nie przekracza, to suma szeregu, tutaj dokładnie 1 dolar.