Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
W poprzednich dwóch lekcjach sumowaliśmy listę liczb i pytaliśmy, do jakiej wartości dąży jej suma. Teraz idziemy o krok dalej: a co, jeśli dodamy do siebie nieskończenie wiele nieskończenie małych elementów? Ta pojedyncza operacja — sumowanie niezliczonych, drobnych elementów i przejście do granicy — stanowi istotę pojęcia całki.
Chcemy obliczyć pole pod krzywą, ale jej górny brzeg nie jest prosty, więc nie ma jednej stałej wysokości, którą moglibyśmy pomnożyć przez szerokość. Stosujemy więc pewien trik: wypełniamy ten obszar cienkimi pionowymi prostokątami — tak wąskymi, że krzywa nad każdym z nich jest niemal płaska. Następnie sumujemy ich pola. Nie da to dokładnego wyniku, bo krawędzie prostokątów miejscami wystają ponad krzywą, a miejscami jej nie dosięgają, ale wynik będzie bardzo bliski. Na koniec sprawiamy, że prostokąty stają się nieskończenie wąskie.
Aby znaleźć pole obszaru o dziwnym kształcie, wyobraź sobie wypełnienie go wieloma cienkimi pionowymi paskami, jak układanie rzędu monet obok siebie pod krzywą. Każdy pasek jest tak wąski, że jego góra jest prawie płaska, więc możesz go potraktować jako zwykły prostokąt i zsumować pola. Im cieniej pokroisz paski — im mniejsze zrobisz Δx — tym dokładniej stos wypełni obszar, a otrzymane pole zbliży się do dokładnej odpowiedzi.