Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Przybliżenie liniowe (Lekcja 9) wykorzystywało tylko gradient i dostarczało płaską płaszczyznę styczną. Dodaj następny wyraz, zbudowany z hesjanu, a otrzymasz przybliżenie kwadratowe: paraboloidę, która przylega do powierzchni, uwzględniając jej krzywiznę, a nie tylko samo nachylenie.
Spójrz na to równanie jak na trzy elementy: f(x) to obecna wysokość, ∇fᵀδ to poprawka liniowa (nachylenie), a ½δᵀHδ to poprawka kwadratowa (krzywizna). Ostatni wyraz jest w istocie formą kwadratową, a znak tej poprawki zależy bezpośrednio od wartości własnych hesjanu.
Płaska płaszczyzna styczna spoczywająca na zakrzywionej powierzchni jest jak umieszczenie sztywnego szkiełka na twoim oku: dotyka go w jednym miejscu, ale wszędzie indziej są szczeliny. Soczewka kontaktowa działa lepiej, ponieważ jest zakrzywiona, aby pasować do powierzchni oka, dopasowując się nie tylko do tego, gdzie znajduje się oko, ale także do tego, jak się zakrzywia. Człon hesjanu ½δᵀHδ to ta wbudowana krzywizna: pozwala on, by przybliżenie przylegało do powierzchni, zamiast tylko na niej spoczywać.