Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Pojedyncza całka mierzyła pole pod krzywą. Całka podwójna mierzy objętość pod powierzchnią. Pokryj obszar płaszczyzny malutkimi kafelkami, pomnóż pole każdego kafelka przez wysokość powierzchni nad nim, zsumuj, a potem pomniejsz kafelki. To idea sumy Riemanna podniesiona o jeden wymiar wyżej.
Obliczasz ją przez całkowanie iterowane: całkujesz po jednej zmiennej, potem po drugiej. Twierdzenie Fubiniego to dokładnie to, co czyni ten proces w ogóle praktycznym, ponieważ dla funkcji ciągłych możesz całkować w dowolnej kolejności i za każdym razem dostać ten sam wynik.
Wyobraź sobie pomiar całkowitej ilości deszczu złapanego na całym polu. Deszcz pada nierównomiernie, silniej w pobliżu jednego narożnika, lżej w innym, więc w myślach kroisz pole na małe kwadraty, mnożysz powierzchnię każdego kwadratu przez lokalną głębokość deszczu i sumujesz wszystkie fragmenty. Zmniejszanie tych kawałków zamienia tę sumę w podwójną całkę głębokości f(x, y) po całym polu.