Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Dodaj jeszcze jeden wymiar i masz całkę potrójną: zamiast kafelkować obszar 2-D, wypełniasz bryłę 3-D malutkimi sześcianikami, ważysz każdy z nich wartością funkcji w danym miejscu, a następnie wszystko sumujesz. Mechanizm pozostaje bez zmian: sumy Riemanna, a następnie całkowanie iterowane, przy czym twierdzenie Fubiniego wciąż pozwala na swobodny wybór kolejności.
Nad prostopadłościanem [a,b]×[c,d]×[e,g] to trzy zagnieżdżone całki pojedyncze: scałkuj po jednej zmiennej trzymając pozostałe stałe, potem po następnej, potem po ostatniej. Każdy krok to zwykłe całkowanie z Kursu I.
Pomyśl o ważeniu ciasta biszkoptowego, którego gęstość różni się w zależności od miejsca: przewiewnego blisko góry, gęstszego i wilgotniejszego w kierunku środka. Aby uzyskać jego całkowitą masę, pokroiłbyś go na malutkie sześciany, pomnożył niewielką objętość każdego sześcianu przez gęstość w tym konkretnym miejscu i zsumował każdy okruszek. Kurczenie się sześcianów zamienia tę sumę w potrójną całkę gęstości f(x, y, z) po cieście.