Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Ostatnia lekcja łączy w sobie obie połówki kursu. Gdy zmieniasz zmienne w całce poprzez podstawienie x = g(u), musisz uwzględnić to, jak podstawienie rozciąga przestrzeń. Odpowiedni współczynnik rozciągnięcia to dokładnie wyznacznik jakobianu z Modułu 3. W ostatecznym wzorze pochodne i całki naszego kursu spotykają się po raz ostatni.
To po prostu wielowymiarowe uogólnienie podstawienia u z Kursu I. W jednym wymiarze współczynnik ten był równy |dx/du|, czyli „jakobianowi” 1×1. Tutaj występuje pod postacią |det J_g|, co odpowiada współczynnikowi skalowania objętości: podczas gdy odwzorowanie g kompresuje lub rozszerza maleńkie fragmenty przestrzeni u rzutując je na przestrzeń x, wyznacznik odpowiednio przeskalowuje całkę tak, aby całkowita suma pozostała poprawna.
Próba całkowania po okrągłym obszarze z kwadratowymi kafelkami x-y jest jak brukowanie okrągłego ronda prostokątnymi cegłami: krawędzie nigdy do siebie nie pasują czysto. Zmień na współrzędne okrągłe (biegunowe), które owijają się wokół środka, a kształt układa się naturalnie na swoim miejscu. Ceną za zmianę jest współczynnik rozszerzalności, który zamienia element pola w r dr dθ, ponieważ pierścienie oddalone od środka pokrywają więcej przestrzeni.