Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
A integral responde à pergunta complementar da derivada: não "a que velocidade isto está a mudar?", mas "quanto se acumulou?" Geometricamente, a integral definida é a área compreendida entre uma curva e o eixo x.
Imagine traçar o contorno de um lago em papel milimétrico querendo saber a sua área. Não pode multiplicar uma largura por uma altura, porque a margem é curva. Por isso conta os pequenos quadrados que caem sob o contorno: quantos mais quadrados, mais fina a grelha, mais a sua contagem se aproxima da área verdadeira. Uma soma de Riemann é exatamente essa contagem, e o integral é o número em que se estabiliza à medida que os quadrados encolhem até ao nada.
Para um retângulo, a área é simplesmente largura × altura. Mas uma curva tem um topo ondulado — não há uma única altura por que multiplicar. A ideia de Bernhard Riemann foi: dividir a região em retângulos verticais finos, cada um suficientemente estreito para que a curva seja quase plana ao longo dele, somar as suas áreas e depois usar fatias cada vez mais finas.