Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
A substituição (muitas vezes chamada substituição em u) é a técnica de integração que inverte a regra da cadeia. Quando uma integral contém uma função e uma cópia da sua derivada, podemos reduzir a composição confusa a uma integral limpa e simples, bastando renomear o interior.
A receita: identifica uma função interna, chama-lhe u = g(x), calcula du = g′(x) dx e reescreve a integral inteiramente em termos de u. Se escolheste bem o u, o fator g′(x) dx já está ali à espera de se tornar du, e a integral fica trivial.
A substituição é como trocar dinheiro por uma moeda mais simples para fazer uma conta, e depois trocar de volta. O integral é complicado na sua 'moeda' original de x, por isso troca por uma unidade limpa u, faz a aritmética fácil aí, e converte a resposta de volta para x no final. Escolha a troca com sabedoria e a conta confusa transforma-se numa que pode fazer de cabeça.