Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Quando uma integral é um produto de duas funções sem relação entre si, como x·eˣ, a substituição normalmente não ajuda. A ferramenta para produtos é a integração por partes, a contrapartida integral da regra do produto.
Ela resulta diretamente de inverter a regra do produto. A fórmula troca uma integral por outra, com sorte mais simples:
A arte está em escolher u e dv. Toma para u a parte que fica mais simples ao ser diferenciada (para que a integral que sobra seja mais fácil) e deixa dv ser a parte que consegues integrar.
Onde isto aparece no MLA integração por partes é a técnica por trás das integrais de entropia e de entropia cruzada que permeiam o ML. Expressões como ∫ x ln x dx surgem ao se calcular a entropia de distribuições contínuas. É também um cavalo de batalha na dedução de valores esperados e na matemática por trás da inferência variacional, onde aparecem constantemente integrais de produtos de densidades e de log-densidades.