Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Nas duas últimas lições, somaste uma lista de números e perguntaste para onde caminhava o total acumulado. Agora damos um salto ousado: e se as coisas que estamos a somar forem infinitas e infinitamente finas? Esse único movimento — somar pedaços minúsculos e depois passar ao limite — é toda a ideia da integral.
Vê a imagem. Queres a área sob uma curva, mas o topo é ondulado, por isso não há uma única altura para multiplicar pela largura. Então dás um jeito, com cuidado: cobre a região com retângulos verticais finos, cada um tão estreito que a curva fica quase plana ao longo dele. Soma as áreas. Não obténs a resposta exata — os topos dos retângulos ficam acima ou abaixo da curva — mas chegas perto. Em seguida, torna os retângulos ainda mais finos.
Para encontrar a área de uma região com uma forma invulgar, imagine preenchê-la com muitas tiras verticais finas, como empilhar uma fila de moedas lado a lado debaixo da curva. Cada tira é tão estreita que o seu topo é quase plano, pelo que a pode tratar como um simples retângulo e somar as áreas. Quanto mais finas cortar as tiras — quanto mais pequeno tornar o Δx — mais perfeitamente a pilha preenche a região, e a área que obtém aproxima-se da resposta exata.