Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Esta última lição amarra as duas metades do curso. Quando mudas de variáveis numa integral substituindo x = g(u), precisas de contabilizar como a substituição estica o espaço. Esse fator de estiramento é o determinante da Jacobiana do Módulo 3, de modo que a fórmula final é onde as derivadas e as integrais do curso finalmente se encontram.
Esta é a generalização multivariável da u-substituição do Curso I. Lá, o fator era |dx/du|, uma 'Jacobiana' 1×1. Aqui é |det J_g|, o fator de escala de volume: à medida que a aplicação g comprime ou expande pequenas caixas do espaço u dentro do espaço x, o determinante reescala a integral para que o total permaneça correto.
Tentar integrar sobre uma região redonda com mosaicos quadrados x-y é como pavimentar uma rotunda circular com tijolos retangulares: as bordas nunca encaixam de forma limpa. Mude para coordenadas circulares (polares) que se envolvem em torno do centro e a forma encaixa naturalmente. O preço a pagar pela mudança é o fator de alongamento, que transforma o elemento de área em r dr dθ porque os anéis mais distantes do centro cobrem mais espaço.