Geometria e álgebra de aplicações lineares, vetores e matrizes
Três quantidades capturam o que uma matriz realmente faz. O espaço coluna é tudo que Ax pode alcançar: o espaço gerado pelas colunas, a "região de saída" da matriz. O posto (rank) é a dimensão daquele espaço coluna, o número de direções genuinamente independentes que A produz. E o núcleo (null space) é tudo que A esmaga para zero, todos x com Ax = 0.
Imagine dar direções usando pontos de referência. Se você diz "vá em direção à torre" e "vá em direção à gêmea da torre logo ao lado", você na verdade deu apenas uma direção genuína — a segunda não adiciona nada de novo. O posto conta quantas das direções de uma matriz são verdadeiramente independentes assim; qualquer direção que colapse para nenhum movimento pertence ao espaço nulo.
As dimensões obedecem a um balanço limpo, o teorema posto–nulidade: as dimensões de entrada se dividem nas direções que sobrevivem (posto) e nas direções que são esmagadas (nulidade).