Geometria e álgebra de aplicações lineares, vetores e matrizes
A inversa A⁻¹ é a transformação que desfaz A. Aplique A depois A⁻¹ e todo vetor volta para casa: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Se A rotaciona 30°, sua inversa rotaciona de volta 30°; se A dobra comprimentos, sua inversa os reduz à metade.
Nem toda matriz pode ser desfeita. Uma inversa existe apenas quando A é de posto completo, equivalentemente quando seu determinante é não-nulo. A razão é geométrica: se A acha o espaço (colapsando uma direção para zero, como uma matriz de posto baixo faz), informação é destruída e não há forma de reconstruí-la. Tal matriz é singular.
Para uma matriz 2×2 há uma forma fechada memorável. Troque a diagonal, negue a fora-da-diagonal, divida pelo determinante: