Одномерный анализ с первых принципов
Интеграл отвечает на парный вопрос к производной: не «как быстро это меняется?», а «сколько накопилось?» Геометрически определённый интеграл — площадь между кривой и осью x.
Представьте, что вы обводите контур пруда на миллиметровой бумаге и хотите узнать его площадь. Вы не можете умножить одну ширину на одну высоту, потому что берег изгибается. Поэтому вы считаете маленькие квадратики, которые попадают под контур: чем больше квадратиков, чем мельче сетка, тем ближе ваш подсчет приближается к истинной площади. Сумма Римана — это и есть этот подсчет, а интеграл — это то число, на котором он останавливается по мере того, как квадратики сжимаются в ничто.
Для прямоугольника площадь — ширина × высота. Но у кривой волнистый верх — нет единой высоты. Идея Бернхарда Римана: нарежьте область на тонкие вертикальные прямоугольники, каждый настолько узкий, что кривая почти плоская на нём, просуммируйте площади, затем берите всё тоньше и тоньше.