Основная теорема исчисления — Математический анализ I

Это теорема, связывающая весь курс. Производные и интегралы, наклоны и площади — два отдельных мира. Основная теорема исчисления (ОТИ) показывает, что они — точные обратные друг другу. Дифференцирование отменяет интегрирование и наоборот.

Определите функцию площади A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt — бегущую площадь под f от фиксированного старта до x. Часть 1 говорит: скорость, с которой площадь растёт, — ровно высота кривой на правом краю:

Интуитивно: при малом сдвиге правого края новая полоска площади = (высота)×(малая ширина) = f(x)·dx. Площадь накапливается со скоростью f(x). Фигура показывает площадь, заполняющуюся, и скорость роста, отслеживающую высоту кривой.

Где это встречается в MLОТИ — почему можно свободно переходить между плотностями и кумулятивными вероятностями. Функция плотности вероятности (PDF) — производная функции распределения (CDF), а CDF — интеграл PDF: это Часть 1 и Часть 2 в работе. Вычисление P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) — буквально ОТИ Часть 2. Каждый раз, когда модель преобразует плотность в вероятность, она использует эту теорему.