Многомерный анализ с первых принципов
Этот последний урок связывает воедино обе половины курса. Когда вы меняете переменные в интеграле подстановкой x = g(u), нужно учесть, как подстановка растягивает пространство. Этот коэффициент растяжения — определитель якобиана из Модуля 3, поэтому итоговая формула и есть то место, где производные и интегралы курса наконец встречаются.
Это многомерное обобщение u-подстановки из Курса I. Там коэффициентом был |dx/du| — «якобиан» размера 1×1. Здесь это |det J_g|, коэффициент масштабирования объёма: когда отображение g сжимает или растягивает маленькие кубики u-пространства в x-пространство, определитель перемасштабирует интеграл, чтобы итог остался верным.
Попытка интегрировать по круглой области с помощью квадратных плиток x-y подобна мощению кольцевой развязки прямоугольными кирпичами: края никогда не стыкуются ровно. Переключитесь на круговые (полярные) координаты, которые оборачиваются вокруг центра, и форма естественным образом становится на свои места. Плата за переключение — это коэффициент растяжения, который превращает элемент площади в r dr dθ, потому что кольца, находящиеся дальше от центра, охватывают больше пространства.