Многомерное гауссово распределение — Вероятность

Реальные данные редко одно число. Это вектор. Многомерный Гаусс N(μ, Σ) расширяет колокол на много измерений. Среднее становится вектором μ ∈ ℝⁿ (центр облака), дисперсия — матрицей ковариаций Σ (форма и наклон облака).

Показатель обобщает z-оценку: (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) — квадрат расстояния Махаланобиса, расстояние от среднего в единицах собственного разброса данных. Точки равной плотности образуют эллипсы (эллипсоиды в больших размерностях); матрица ковариаций задаёт их размер, растяжение и наклон.

Диагональ Σ хранит дисперсии по координатам; внедиагональные — ковариации, говорят, растут ли координаты вместе. Диагональная Σ даёт эллипсы, выровненные по осям (независимые координаты); внедиагональные элементы наклоняют их. Σ должна быть положительно полуопределённой, отрицательной дисперсии в любом направлении не бывает.

Где это встречается в MLКогда гауссовский процесс делает регрессию со встроенными доверительными интервалами, он помещает многомерный Гаусс над функциями. Латентный априор VAE — стандартное многомерное нормальное N(0, I). Гауссовы модели со скрытыми переменными и расписания шума диффузионных моделей опираются на то, что линейные отображения и условные Гауссов остаются Гауссами.