Single-variable calculus from first principles
Bir diziyi al ve ilerledikçe terimleri toplamaya başla. Bir terimden sonra a₁ vardır. İki terimden sonra a₁ + a₂. Üç terimden sonra a₁ + a₂ + a₃. Bu akan toplamların her birine kısmi toplam denir ve Sₙ ile yazılır — ilk n terimin toplamı.
Kısmi toplamların kendisi yeni bir dizi oluşturur (S₁, S₂, S₃, …) ve geçen dersteki aynı soruyu sorabiliriz: bu akan toplam bir limite yerleşiyor mu? Yerleşiyorsa, bu limite serinin toplamı deriz.
Sürekli doldurduğunuz bir bahşiş kavanozu hayal edin: her bir genel toplam, yani son katkıdan sonra kavanozdaki para, bir kısmi toplamdır. Eğer her katkı bir öncekinin yarısı kadarsa — örneğin bir doların 1/2 + 1/4 + 1/8 + … kadarını eklemek gibi — kavanoz önce hızla dolar, sonra neredeyse hiç yükselmez ve bir tavana sarılır. Asla tam olarak geçemediği bu tavan, serinin toplamıdır, burada tam olarak 1 dolar.