Single-variable calculus from first principles
Son iki derste bir sayı listesini topladın ve akan toplamın nereye gittiğini sordun. Şimdi cesur bir sıçrama yapıyoruz: ya topladığımız şeyler sonsuz sayıda, sonsuz ince parçaysa? Bu tek hareket — küçük parçaları topla, sonra limit al — integral fikrinin tamamıdır.
Resim şudur. Bir eğrinin altındaki alanı istiyorsun; ama üst kenar dalgalı olduğu için genişlikle çarpılacak tek bir yükseklik yok. Bu yüzden dikkatli bir hile yaparsın: bölgeyi ince dikey dikdörtgenlerle kaplarsın; her biri o kadar dardır ki eğri üzerinde neredeyse düzdür. Alanlarını toplarsın. Tam cevabı almazsın — dikdörtgenlerin üstleri eğrinin üstüne çıkar ya da altında kalır — ama yaklaşırsın. Sonra dikdörtgenleri inceltirsin.
Tuhaf şekilli bir bölgenin alanını bulmak için, eğrinin altına yan yana bir dizi madeni para dizer gibi bölgeyi birçok ince dikey şeritle doldurduğunuzu hayal edin. Her şerit o kadar dardır ki üst kısmı neredeyse düzdür, bu yüzden onu basit bir dikdörtgen olarak ele alabilir ve alanları toplayabilirsiniz. Şeritleri ne kadar ince keserseniz — Δx değerini ne kadar küçültürseniz — yığın bölgeyi o kadar sıkı doldurur ve elde ettiğiniz alan kesin cevaba o kadar yaklaşır.