Single-variable calculus from first principles
İntegral, türevin eşlik eden sorusuna cevap verir: "bu ne kadar hızlı değişiyor?" değil, "ne kadar birikti?" Geometrik olarak belirli integral, bir eğri ile x-ekseni arasında sıkışan alandır.
Bir göletin taslağını milimetrik kağıda çizdiğinizi ve alanını bulmak istediğinizi hayal edin. Bir genişliği bir yükseklikle çarpamazsınız çünkü kıyı kıvrımlıdır. Bu yüzden taslağın altına düşen küçük kareleri sayarsınız: daha fazla kare, daha ince ızgara, sayımınızın gerçek alana o kadar yaklaşması. Bir Riemann toplamı tam olarak bu sayımdır ve integral, kareler küçülüp yok olurken o sayımın ulaştığı sayıdır.
Bir dikdörtgen için alan yalnızca genişlik × yüksekliktir. Ama bir eğrinin üstü dalgalıdır — çarpacağın tek bir yükseklik yoktur. Bernhard Riemann'ın fikri şuydu: bölgeyi ince dikey dikdörtgenlere dilimle; her biri eğrinin üzerinde neredeyse düz görünecek kadar dar olsun, alanlarını topla, sonra giderek daha ince dilimler kullan.