Single-variable calculus from first principles
Bu, tüm dersi birbirine bağlayan teoremdir. Türevler ve integraller, eğimler ve alanlar iki ayrı dünya gibi görünür. Kalkülüsün Temel Teoremi (FTC) bunların birbirinin tam tersi olduğunu gösterir. Türev almak integrali geri alır; integral almak da türevi.
Bir alan fonksiyonu tanımla: A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt. Bu, sabit bir başlangıçtan x'e kadar f altında biriken alandır. 1. bölüm şunu söyler: bu alanın büyüme hızı, sağ kenardaki eğrinin yüksekliğinin tam kendisidir:
Sezgisel olarak: sağ kenarı çok az itersen, eklediğin yeni ince alan şeridi (yükseklik)×(çok küçük genişlik) = f(x)·dx olur. Bu yüzden alan f(x) hızında birikir. Şekil, alanın dolmasını ve büyüme hızının eğrinin yüksekliğini takip etmesini gösterir.