Multivariate calculus from first principles
Bu son ders, kursun iki yarısını birbirine bağlar. Bir integralde x = g(u) yerine koyarak değişken değiştirdiğinde, bu yerine koymanın uzayı nasıl gerdiğini hesaba katmalısın. O germe faktörü, Modül 3'teki Jacobian determinantıdır; dolayısıyla nihai formül, kursun türevleri ile integrallerinin nihayet buluştuğu yerdir.
Bu, Ders-I u-yerine koymasının çok değişkenli genellemesidir. Orada faktör |dx/du|, bir 1×1 'Jacobian' idi. Burada |det J_g|, hacim ölçekleme faktörüdür: g haritası u-uzayının küçük kutularını x-uzayına sıkıştırdıkça ya da genişlettikçe, determinant integrali yeniden ölçekler, böylece toplam doğru kalır.
Kare x-y karolarıyla yuvarlak bir bölge üzerinde integral almaya çalışmak, dairesel bir döner kavşağı dikdörtgen tuğlalarla döşemeye benzer: kenarlar asla düzgün oturmaz. Merkezin etrafını saran dairesel (kutupsal) koordinatlara geçerseniz şekil doğal olarak yerine oturur. Değiştirmenin bedeli, merkezden daha uzak olan halkalar daha fazla yer kapladığı için alan elemanını r dr dθ değerine dönüştüren gerilme faktörüdür.