Tính toán một biến từ nguyên tắc đầu tiên
Hãy lấy một dãy số rồi bắt đầu cộng dồn các số hạng khi đi tới. Sau một số hạng, bạn có a₁. Sau hai, a₁ + a₂. Sau ba, a₁ + a₂ + a₃. Mỗi tổng đang chạy này được gọi là tổng riêng, ký hiệu là Sₙ — tổng của n số hạng đầu tiên.
Bản thân các tổng riêng lại tạo thành một dãy số mới (S₁, S₂, S₃, …) và ta có thể đặt cùng câu hỏi như bài học trước: tổng đang chạy này có tiến tới một giới hạn không? Nếu có, ta gọi giới hạn đó là tổng của chuỗi.
Hãy hình dung một lọ tiền boa mà bạn tiếp tục nạp: mỗi tổng tiền đang chạy là một phần tiền, số tiền trong lọ sau lần đóng góp gần nhất. Nếu mỗi khoản đóng góp chỉ bằng một nửa kích thước của khoản đóng góp trước — giống như thêm 1/2 + 1/4 + 1/8 + … của một đô la — lúc đầu thì bình sẽ đầy nhanh chóng, sau đó hầu như không tăng lên, ôm lấy trần nhà. Mức trần mà nó chưa bao giờ vượt qua chính là tổng của chuỗi, ở đây chính xác là 1 đô la.