Tính toán một biến từ nguyên tắc đầu tiên
Trong hai bài học trước, bạn đã cộng một danh sách số và hỏi tổng đang chạy tiến tới đâu. Bây giờ ta thực hiện một bước nhảy táo bạo: điều gì xảy ra nếu những thứ ta đang cộng là vô hạn mảnh, mỏng vô cùng? Chính động tác đó — cộng các mảnh nhỏ rồi lấy giới hạn — là toàn bộ ý tưởng của tích phân.
Hình dung thế này: bạn muốn tính diện tích bên dưới một đường cong, nhưng cạnh trên lại lượn sóng, nên không có một chiều cao duy nhất để nhân với chiều rộng. Vậy nên ta "gian lận" một cách cẩn thận: phủ vùng đó bằng các hình chữ nhật đứng mảnh, mỗi cái hẹp đến mức đường cong gần như phẳng phía trên nó. Cộng diện tích của chúng lại. Bạn sẽ không có đáp án chính xác — đỉnh các hình chữ nhật nhô lên trên hoặc nằm dưới đường cong — nhưng bạn sẽ tiến gần tới. Rồi làm cho các hình chữ nhật mỏng hơn nữa.
Để tìm diện tích của một vùng có hình dạng kỳ lạ, hãy tưởng tượng lấp đầy nó bằng nhiều dải dọc mỏng, giống như xếp một hàng đồng xu cạnh nhau dưới đường cong. Mỗi dải hẹp đến mức phần trên của nó gần như bằng phẳng, vì vậy bạn có thể coi nó như một hình chữ nhật đơn giản và cộng các diện tích lại. Bạn cắt các dải — càng mỏng thì Δx — ngăn xếp càng lấp đầy vùng càng khít và vùng bạn nhận được sẽ gần với câu trả lời chính xác.