Tính toán một biến từ nguyên tắc đầu tiên
Tích phân trả lời câu hỏi song hành với đạo hàm: không phải "cái này thay đổi nhanh thế nào?" mà là "đã tích lũy được bao nhiêu?" Về mặt hình học, tích phân xác định là diện tích kẹp giữa một đường cong và trục x.
Vẽ đường viền của một cái ao lên giấy vẽ đồ thị và muốn biết diện tích của nó. Bạn không thể nhân chiều rộng với chiều cao vì bờ biển cong. Vì vậy, bạn đếm các ô vuông nhỏ nằm dưới đường viền: càng nhiều ô vuông, lưới càng mịn, số đếm của bạn càng tiến gần đến khu vực thực. Tổng Riemann chính xác là số đó, và tích phân là số mà nó thu được khi các bình phương co lại thành không.
Đối với hình chữ nhật, diện tích chỉ là chiều rộng × chiều cao. Nhưng một đường cong có đỉnh nhấp nhô, không có một chiều cao duy nhất để nhân. Ý tưởng của Bernhard Riemann: chia vùng thành các hình chữ nhật đứng mỏng, mỗi hình đủ hẹp để đường cong gần như phẳng trên đó, cộng diện tích của chúng lại, rồi dùng các lát ngày càng mỏng hơn.