Định lý cơ bản của giải tích — Giải tích tôi

Đây là định lý gắn kết toàn bộ khóa học lại với nhau. Đạo hàm và tích phân, độ dốc và diện tích, trông như hai thế giới riêng biệt. Định lý cơ bản của giải tích (FTC) cho thấy chúng chính xác là phép toán nghịch đảo của nhau. Lấy đạo hàm sẽ hoàn tác phép lấy tích phân, và ngược lại.

Định nghĩa hàm diện tích A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, là diện tích nằm dưới f từ một điểm khởi đầu cố định đến x. Phần 1 nói rằng: tốc độ tăng của diện tích đó chính xác bằng chiều cao của đường cong ở mép phải:

Theo trực giác: khi bạn dịch mép phải một chút, phần diện tích mới thêm vào là (chiều cao)×(chiều rộng cực nhỏ) = f(x)·dx. Vậy nên diện tích tích lũy với tốc độ f(x). Hình vẽ cho thấy diện tích được lấp đầy và tốc độ tăng của nó bám theo chiều cao của đường cong.

Vị trí của nó trong MLFTC là lý do ta có thể di chuyển tự do giữa mật độ và xác suất tích lũy. Hàm mật độ xác suất (PDF) là đạo hàm của hàm phân phối tích lũy (CDF), và CDF là tích phân của PDF: đó chính là Phần 1 và Phần 2 đang hoạt động. Tính P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) theo nghĩa đen chính là FTC Phần 2. Mỗi lần một mô hình chuyển mật độ thành xác suất, nó đang dùng định lý này.