Tính toán một biến từ nguyên tắc đầu tiên
Các hàm số hành xử giống như vectơ. Bạn đã biết rằng có thể cộng hai mũi tên và kéo dài một mũi tên theo một con số. Bạn cũng có thể làm hai việc đó với các hàm số, và gần như mọi điều bạn biết về vectơ đều áp dụng được ngay.
Để cộng hai hàm, bạn cộng chúng theo từng điểm: tại mỗi đầu vào x, đầu ra của hàm mới chỉ là tổng của hai đầu ra. Để nhân vô hướng một hàm với một số c, bạn nhân mọi đầu ra với c. Đúng hai phép toán đó là thứ tạo nên một "không gian vectơ".
Hãy nghĩ đến hai bản âm thanh phát cùng lúc: một đoạn âm trầm và một giai điệu. Để trộn chúng, bạn thêm hai dạng sóng vào từng thời điểm, giống hệt như thêm các hàm theo từng điểm. Và việc xoay núm âm lượng của một bản nhạc lên 70% chỉ là tăng tỷ lệ chức năng đó lên 0.7 mọi lúc. Trộn và âm lượng là phép cộng và chia tỷ lệ, hai bước di chuyển làm cho các hàm hoạt động giống như vectơ.