Phép tính đa biến từ nguyên tắc đầu tiên
Bài học cuối cùng này gắn kết hai nửa của khóa học lại với nhau. Khi bạn đổi biến trong một tích phân bằng phép thế x = g(u), bạn phải tính đến việc phép thế kéo giãn không gian ra sao. Hệ số kéo giãn đó chính là định thức Jacobi từ Mô-đun 3, nên công thức cuối cùng là nơi đạo hàm và tích phân của cả khóa học gặp nhau.
Đây là dạng tổng quát nhiều biến của phép thế u ở Giải tích I. Ở đó, hệ số là |dx/du|, một 'Jacobi' cỡ 1×1. Ở đây là |det J_g|, hệ số tỷ lệ thể tích: khi ánh xạ g nén hay giãn các hộp nhỏ từ không gian u sang không gian x, định thức sẽ điều chỉnh lại tỷ lệ của tích phân để tổng vẫn đúng.
Cố gắng tích hợp trên một vùng hình tròn bằng các ô vuông x-y cũng giống như lát một bùng binh hình tròn bằng các viên gạch hình chữ nhật: các cạnh không bao giờ vừa khít. Chuyển sang tọa độ tròn (cực) bao quanh tâm và hình dạng sẽ vào đúng vị trí một cách tự nhiên. Giá cho việc chuyển đổi là hệ số giãn, biến phần tử diện tích thành r dr dθ vì các vòng ở xa tâm hơn sẽ bao phủ nhiều không gian hơn.