可导性

从第一性原理出发的单变量微积分

如果一个函数在某点有单一、定义清楚的斜率——也就是一条没有歧义的切线——它在该点就是可导的。大多数光滑曲线处处可导。但有些函数虽然完全连续，却在某个位置无法确定斜率。理解导数在哪里失败，和计算导数一样重要。

如果函数在某点有斜率，它不可能在那里跳跃，所以可导 ⇒ 连续。反过来是假的：函数可以连续（不用抬笔就能画出），但仍然在某点没有斜率。“连续”和“可导”之间的差距正是有趣之处。

绝对值函数 |x| 是标准例子。它处处连续，在 0 处没有断裂。但就在这个尖角处，从左边来的斜率是 −1，从右边离开的斜率是 +1。两个不同斜率在尖点相遇，所以没有唯一切线。导数在 x = 0 处不存在。