高阶导数

从第一性原理出发的单变量微积分

如果一阶导数 f′ 告诉你斜率，那么斜率的导数告诉你什么？那就是二阶导数 f″，它衡量斜率如何变化，也就是曲线的凹凸性。

只需求两次导。对于 f(x) = x³：先得到 f′ = 3x²，再得到 f″ = 6x。你还可以继续求下去（三阶、四阶导数），每次都对上一个导数求导。

f″ 的符号告诉你曲线向哪边弯。如果 f″ > 0，曲线凹向上：像碗一样向上开（∪），斜率在增加。如果 f″ < 0，曲线凹向下：像穹顶一样向下盖（∩），斜率在减少。凹凸性翻转的位置叫拐点。