从第一性原理出发的单变量微积分
取一个数列，并开始边走边把项加起来。一项之后你有 a₁。两项之后是 a₁ + a₂。三项之后是 a₁ + a₂ + a₃。这些不断累加的总数叫部分和，写作 Sₙ——前 n 项的和。
部分和本身也形成一个新的数列（S₁, S₂, S₃, …），我们可以问和上一课完全相同的问题：这个不断累加的总数会不会稳定到一个极限？ 如果会，我们就把这个极限叫做级数的和。
想象一个你不断往里添钱的小费罐：每一次不断累加的金额就是部分和，即最近一次添钱后罐子里的钱。如果每次添的钱都是前一次的一半——比如添加 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 美元——罐子一开始装得很快，然后几乎不再上升，紧贴着一个上限。那个它永远无法完全超过的上限就是级数的和，在这里正好是 1 美元。