从第一性原理出发的单变量微积分
在前两课中，你把一个数字列表加起来，并询问这个累加总数会走向哪里。现在我们大胆迈一步：如果我们要加的是无限多个、无限薄的小片呢？ 这个动作——把小片相加，然后取极限——就是积分的全部思想。
图像是这样的。你想求曲线下方的面积，但上边界是弯曲的，所以没有一个单一高度可以直接乘以宽度。于是你谨慎地“作弊”：用很薄的竖直矩形覆盖这个区域，每个矩形都窄到曲线在它上方几乎是平的。把它们的面积加起来。你不会得到精确答案——矩形顶部会高出或低于曲线——但会接近。然后让矩形更薄。
为了求出形状不规则区域的面积，想象用许多细长的垂直条纹填满它，就像在曲线下并排堆叠一排硬币一样。每条条纹如此之窄，以至于它的顶部几乎是平坦的，因此你可以将它视为一个简单的矩形并将面积相加。你把条纹切得越薄——你让 Δx 越小——堆叠就越紧密地填满该区域，你得到的面积就越接近准确答案。