黎曼积分

从第一性原理出发的单变量微积分

积分回答的是导数的配套问题：不是“它变化得多快？”，而是“一共积累了多少？” 从几何上看，定积分是曲线与 x 轴之间夹住的面积。

想象一下把一个池塘的轮廓描到方格纸上并想知道它的面积。你不能用一个宽度乘以一个高度，因为岸边是弯曲的。所以你要数落在轮廓内的那些小正方形：正方形越多，网格越密，你的计数就越接近真实面积。黎曼和就是那样的计数，而积分则是当正方形缩小到无时它稳定下来的那个数字。

对于矩形，面积只是宽 × 高。但曲线的上边界是弯曲的——没有单一高度可以相乘。Bernhard Riemann 的想法是：把区域切成很薄的竖直矩形，每个矩形都窄到曲线在它上方近似平坦，把它们的面积加起来，然后使用越来越薄的切片。