微积分基本定理

从第一性原理出发的单变量微积分

这是把整门课连接起来的定理。导数和积分，斜率和面积，看起来像两个分开的世界。微积分基本定理（FTC）说明它们彼此正好是逆运算。求导会撤销积分，积分也会撤销求导。

定义一个面积函数 A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt，它表示从固定起点到 x 的 f 下方面积。第一部分说：这个面积增长的速率，正好等于右端点处曲线的高度：

直觉上：当你把右端点轻轻移动一点时，新增的小面积薄片是（高度）×（极小宽度）= f(x)·dx。所以面积以 f(x) 的速率累积。图中展示了面积如何填充，以及它的增长率如何跟随曲线高度。