偏导数

从第一性原理出发的多变量微积分

多变量微积分的大部分内容都靠一个想法支撑：对多变量函数求导时，一次只改变一个变量，把其他变量全部冻结。保持 y 不变，只晃动 x，问 f 如何响应。这个变化率就是偏导数 ∂f/∂x。

弯曲的符号 ∂（“偏”）是唯一的新记号。其他都只是课程 I 中的求导法则（幂法则、乘积法则、链式法则），只不过把冻结的变量当作常数。

站在山坡上，你感受到的坡度取决于你面向的方向。固定南北位置并向正东走，脚下的陡峭程度就是偏导数 ∂f/∂x。转身改向正北走，固定东西位置，你会感受到不同的坡度 ∂f/∂y。每个偏导数都冻结一个方向并报告沿另一个方向的上升或下降。